名階一子の数学授業Ⅰ

数学三原則

「まず一番初めに数学三原則を教える。これだ。」
①数学は自由だ。どんなやり方でも答えにたどり着けばよい。
②復習せよ
③見直せ　計算間違いするな。

「これが数学3原則だ！」
「…誰が考えたんですか?」
「私だ。私はもともと文系で数学が苦手でな。実は大学も数学科じゃないんだ。
数学に取っ組んでる時に思い付いたのがこれだ。」
「分かりました。では、授業をお願いします。」
「まあ待て。お前は分かってない。この3原則の重要性を。
順に説明していくから。まあ、5分程度だ。」

「①だが。
どうやったら、数学の問題が上手に解けるようになると思う?」
「うーん。好きになることですか?　才能を持って生まれるとか…？」
「ちがう。公式をちゃんと覚えることだ。そしてそれをどんどん使うことだ。
数学には問題ごとに公式があって、文章題はそれを使えば簡単に早く解けるようにできている。
だから公式を順番にもれなく覚えて、しかもそれをじゃんじゃん使って体にしみこませて覚えた後でも錆びつかないように時々また使うことが大事なんだ。」
「自由だって、①に書いてますが。」
「そうだ。公式も早業も最短距離の解き方だ。覚えていればあっという間に解ける問題が多い。でも、やればやるほど、公式も早業も量が増えて、忘れがちになる。迷子になってしまうんだな。
それだけじゃない。たくさん暗記すればするほど、応用力がきかなくなる。ちょっと細部が違うだけで、やってない問題はパニックになって解けなくなるんだ。
難しい問題ほど、2段構え3段構えの解法を要求してくる。暗記と繰り返しだけでは解きにくくなる。
だから、いま覚えているものだけでも道筋さえ正しければ解けるはずだと、気楽に構えるんだ。
公式も早業も、たくさん教えるし、できるだけ覚えやすいように教える。
公式も、一つ覚えれば2つも3つも応用できる場合がある。
例えば、解の方程式から、判別式を見出したりとか、オイラーの公式から、三角関数の加法定理が2つともできたりとかな。加法定理から、三倍角を出したりとか。
だから、覚えなければならないが、忘れてもパニックになるなという事だ。公式とは違う工夫を要求されているだけかもしれないんだ。」
「分かりました。」
「数学で習う公式や早ワザは、身につければ強力な武器として役に立つ。しかし、回り道でも何でも、正しく歩んでいれば正解にたどり着く。
実際には、最短距離の解き方というものを習って、それを使うのが一番なんだが、だからといって他のやり方が間違いというわけでもない。確率の問題で、出てくる目をすべて書き出して確率を求めても、間違いじゃない。時間は無くなるが。
この自由な発想を許すところが、数学の面白いところでもある。」
「はあ。」

「その②。
数学の先生が5人いたら5人とも、10人いたら10人とも、これを言うと思う。
解法を理解するだけでは十分ではない。自力で解答が書けるようになるまで、何度も書いてみることが必要だ。
例えば、ラケットのふりかたを教えてもらったからといって、テニスができるようになるか?練習しなくちゃだめだろう?　リコーダーの吹き方を教わっても、練習しないとうまく指が動かないだろう?　山道を教わっても、実際に何度も行ってみなければ…まあとにかく、練習しなければ数学も使えるようにならない。だから数学が得意な人というのは、復習を怠らない人のことだ。
不思議なことに、これをやっているとなぜか問題を見たときにひらめくようになる。」
「ほんとですか？？？」
「もちろん本当だ。しばらく離れるだけで勘が鈍るが。
すでに分かっている問題には、復習よりも予習の方が効果的だぞ。受験生は時間が大事だから、無駄な復習はしなくてよし。」

「その③。
計算間違いを甘く見てはいけない。ただ気を付けるだけではなくならない。これをやると記述式ならやり方があっていればある程度点はもらえるが、大問の最初の問いで計算間違いがすれば大問1問まるまる落とすことにもなる。
公式も答えのだし方もすべてわかっていたとしてもだ。だから計算間違いしないことが大変重要だ。
数学の得意な人はみんな計算間違いを防ぐ工夫を凝らしている。数学の先生はたいてい計算が早くて独自の工夫を持っているが、授業で気が付いたことはないか?
字をきれいにとか、広々したところに書くというのはもちろんだが、いろいろあるぞ。
まず１つは、お前が前にやっていたように、答えを出した後検算してさっと確認することだ。もし簡単にできるなら。この習慣は大変いいぞ。間違いをたくさん食い止める。
検算のためにも、数字はきれいに書け。見直してわからないからな。
これが１つ。」
「はあ。」
「あまり書き写さないというのもあるな。
人間のすることだから、式を丸ごと書き写していたら、どこかで必ず間違いが出る。
だから、書き写しはきれいかつ最小限にして、必要なところだけ。計算過程は余白にでも書けばよい。
これは貿易事務20年の大ベテランから教わった方法でな。」
「？数学の関係者じゃないんですか?」
「じゃない。でも事務職は間違いを犯さないプロだ。この助言はありがたく心に留めておけ。でも自分に合ってないと思ったら、無理して使うことはない。
私は、通分の掛け算で間違えることがしょっちゅうあるから、小学生みたいに横に、『×—３』とか書くようにしてるな。
ほかにも、先生ごとに工夫して個性があるから、自分に合ったのをありがたく真似するといい。」
「分かりました。」

「よし。数学は理系を目指すなら避けて通れないぞ。
数学の中にどっぷりつかれ。そうすれば勘ができてくる。問題を見れば頭が勝手に解いてくれるようになるからな。」

微分積分・基礎（微分積分の歌あり）

微分積分の歌

微分積分　分からない?
名階先生に　おまかせください
今から5分で　教えるよ～

まず微分
ｙ＝ｘ　→　ｙ’＝１
ｙ＝ｘ²　→　ｙ’＝２ｘ
ｙ＝ｘ³　→　ｙ’＝３ｘ²
分かったかな?
一般化すれば　ｙ＝ｘn　→ｙ’＝ｎｘn-1
これで接線の　傾き分かる

次積分
ｙ＝ｘ　→　ｙdx＝１/２ｘ²
ｙ＝ｘ²　→　ｙdx＝ １/３ｘ³
ｙ＝ｘ³　→　ydx＝１/４ｘ⁴
分かったかな？　微分の逆
ｘの次数を上げるんだ
これで輪切りだ　体積すぐだ
はい終わり

生徒「終わるな～！」
豪快な女先生(名字「名階」)「何でだ?　これが微積だ　これだけだ♪」
生徒「すみません。全然わかりません。だいたい、ｙ＝ｘ²の傾きが、２ｘって変じゃないですか?　いつでも２ｘなんて。下に下がっているところもあるじゃないですか。マイナスにならないんですか?」
先生「傾きって言っただろ!　ｘに値を入れるんだ。例えば、ｘ＝－２なら、傾き－４、ｘ＝２なら、傾き４だ。どうだ。これでおかしくないだろう。」
生徒「あ、ほんとだ。」
先生「これは傾きだけだからな。本当に接線の式を求めるときには、傾きｍ、点（a,b）を通るとしたら、接線は、ｙ＝ｍ（ｘ－a）＋ｂの式を作るんだぞ。ｍは、微分のy´の式でですぐに出せるな。」
生徒「はい。まあ…。」
先生「まずは微分から詳しく説明するか。
微分の一つ目のいいところは、接線の傾きが、瞬間瞬間でわかることだ。つまり、とある瞬間のグラフの傾きが分かるのだ。接線の傾きとは、そういうことだ。
たとえば、『加速している飛行機の、10.0秒後の速度』と言っても、実際には操縦席でスピードメーターを見ていても、外からスピードメーターで計っていても、一瞬のことでわからないが、加速度と現在速度との関係をグラフにして、そのグラフの微分の式を作り、『１０秒目の傾きは？』と、ｘ＝10を代入すればすぐに出てくるわけだ。それが3次式、4次式になろうともな。」
生徒「あ、それ使えるかも！」
先生「そうだ。微積はすこぶる役に立つ。しかも簡単で正確だ。
２つ目のいいところは、何次式だろうと、どんな風にぐにゃぐにゃしているグラフか、簡単にわかることだ。ここで使うのは、ｙ’＝０になるのは、ｘ＝何の時か、という事だ。
ｙ´＝０つまり、傾き＝０になる時というのは、どんなときだ？」
生徒「えー！」
先生「傾きの時は自分で演算して気が付いたな?　それと同じｙ＝ｘ²の式を使ってみろ。」
生徒「y´＝２ｘ＝０になるのは、ｘ＝０。グラフの底のカーブのとこ？」
先生「その通り。上がっても下がってもいない時だ。カーブを描いている時だ。つまり、ｙ´＝０のときは、ｘは何かを調べれば、どことどこでカーブを描くかわかるわけだ。
で、このｙ´＝０になるときのｙ値を、『極大値』『極小値』とよんでいる。実際には、最大値でも最小値でもないが、一時的に最大/最小になるからだろうな。
極大、極小とその前後のｙ値を求めれば大体のことは分かるな。上向きのカーブか下向きのカーブまで正確に描ける。
極大極小の前後で上がっているか下がっているかを表と矢印で書かされることがあるぞ。
高次式のグラフというのは、問題で結構書く必要に迫られるが、手掛かりにできるのは３つある。
さっき言った、微分式から極大値、極小値を求めて、カーブの頂点を見つける。余裕があったらその前後の点も、計算して求める。
ｘ＝１、０、－１とかの、計算しやすい点を求める。
高次式そのままで因数分解できそうなら、思い切ってやってみる。ｘ軸との交点が分かるぞ。
　　　これで、5次式だろうが、6次式だろうが、どこで折れ曲がるかを正確にぐにゃぐにゃと、書けるわけだ。
　　　ためしに計算しやすくした6次式のグラフを書いてみるか?　いや、今日はやめとこう。」
生徒「ほっ。（～～）」
先生「後で暇があったら、一度くらいためし書きしておくと、便利さが身にしみるぞ。
　　理解したか?」
生徒「まあできたと思う。問題とかやらないの?」
先生「やらない。今日は短い授業だから。かといって、やらないのはいいことじゃないぞ。せっかく理解したんだ。簡単なレベルから始めて、しっかり定着させておけ。
いいか、勉強のコツは、『ほんのちょっと頑張ればできるというレベルの問題を解くこと』だ。
いきなり難しいことやってもすぐに息切れするし、たくさんできないからな。楽にできるなと思ったら、次のレベルに進む方が、たくさん問題を解けていいんだ。Ready?
次積分行くぞ。」
生徒「はあ。レディです。」
先生「積分式の作り方は、微分の逆だ。「積分します」という印に、“ｄｘ”を、「ｘはどこからどこまでです」という印に、“∫”(インテグラル)を使う。
　　　このｓの伸びたのは、見たことないか?」
生徒「ないです。初めて見た。」
先生「微分積分は学校の授業でやっただろ!」
生徒「飛ばしたから。かなり。言われてみればあったような気もする。」
先生「分かった。式の例を見たほうが速いな。
ｆ(x)＝ｘ²の積分式。　ｆ(x)ｄｘ＝ １/３ｘ³。
　　　　で、－１から１までの面積を求めるとすると、…おい、君も書け!　練習だ！∫の下に小さい数字、上に大きい数字を書くのがルールだ。
　　　　ここなら、下が—１、上が１だな。で、∫ｆ(x)dx＝[１/３ x³]（－１≦ｘ≦１）（文字化けするため数式に入れられません。）」 。
この“[　]”は、積分した後は、∫ではなくて、なぜかこのかっこを使うルールなんだ。この“[　]”にも、上と下に「どこからどこまでです」という小さい数字を入れるぞ。」
生徒「できた。これでいい？　∫ｆ(x)dx＝[１/３ x³］（－１≦ｘ≦１）（文字化けするため数式に入れられません。）]」
先生「OKだ。で、大きい方から小さい方を引く。大きい方ｆ(１)＝1/３、小さい方ｆ(-1)＝－1/3、で、ｆ(1)－ｆ(-1)＝1/3－（－1/3）＝2/3。
　　　OKか?」
生徒「うーん。つまり、ｘ＝何かを、積分の式に代入すると、そこまでの面積が出るってこと?　で、大きい方から小さい方を引いて、間の面積が出ると？」
先生「そうだ。ｘ軸よりも上の面積がな。ｘ軸よりも下の面積を計算すると、マイナスの面積になるから注意しろ。
　　　よし、一緒にやってちょっとは分かったろ。今度は問題行くぞ。」
生徒「待って!　なんでこの式に代入したら面積が出てくるのか、さっぱり分からないんですけど。」
先生「それはな…。私にもはっきりと説明できん。とにかく積分すると面積が出るんだ。」
生徒「な！…。でも、歌の中に、『輪切りにすると面積が出る』って書いてあるじゃないですか!」
先生「私が作った歌じゃないから、知らん。」
生徒「…それで教師って言えるんです・か！」
先生「自慢じゃないが、私は教育の専門家であって、数学の専門家じゃない。教育の専門家だから、知らんことをごまかしていい加減なことを教えたりはしない。
　　　　調べたんだぞ。ずいぶん。どの本にも説明はしてあるんだ。積分は、『今ある式を微分式にしてしまう式だ』という事だ。
　　　　そうすると、さらに上の次元の立体を表す式となって、今ある式が傾きを示す式になるという事だ。そして、傾きすべて足していけば、傾き×ｘ座標の数×１/３ とか１/４とか、で面積になるという話らしい。なんでこれが面積を示すことになるやら、証明の過程がさっぱり分からん。高等数学は、敬して遠ざけるのがいいんだ。細かい理屈は抜き!
　　　　本当は、この積分式には、あるかもしれない数字の、“C”（「積分定数」）をくっつけるのが正当なんだが、どうせ足し算引き算すると消える数字だから、歌にも載ってないだろ。いらない理屈は、後から覚えればよし。まずは基本だけ、大事なところだけ覚えるんだ。
　　　　ただ、実際にやってみると、確かにこの式で面積が出るんだ。見てみるか?」
生徒「見たら分かるかも。」
先生「見たら簡単だ。ｆ(x)＝ｘの式。三角形を描いている。ｘ＝０～３までの面積は?」
生徒「普通に求めていいの?　三角形の公式で？小学生のころにやったので?」
先生「それでやれ。」
生徒「底辺３×高さ３×１/２＝９/２。」
先生「それを積分を使ったら?」
生徒「∫ｆ(x)dx＝[１/２ x²]（０≦ｘ≦３） 〗＝１/２×３²＝９/２。ほっ…。できた…！」
先生「で、面積一緒だろう?」
生徒「はあ。そういえば。」
先生「次長方形。ｆ(x)＝３の式。まっすぐの線を書いている。ｘ＝４で区切れば長方形。ｘ＝０～４までの面積は?」
生徒「おんなじことするんですか?」
先生「そうだ。今度は長方形の公式でな。小学生のころに習った。」
生徒「底辺４×高さ３＝１２」
先生「積分では?」
生徒「∫ｆ(x)dx＝[３x]（０≦ｘ≦４） 〗 ＝３×４－０＝１２！　できた！！！＼(◎o◎)／！」
先生「で、同じだろ?」
生徒「できましたよ!　積分！たぶん微分も!」
先生「できるとも。自分で確認確認するし、問題集にたくさん当たればもっと伸びるぞ。やっとけよ。今日はこれで帰る。」
生徒「えっ？もう帰るんですか?　１時間もたってませんけど? 」
先生「実は塾講師の仕事を、何かと言い訳して抜けてるんだ。早く帰らないとダメなんだ。また来られるか分からんが、ちゃんと問題当たるんだぞ?　簡単なやつからな!」
生徒「また来てくださいよね。」
先生「それから積分の出せる面積は基本縦割りだ。「求めよ」と言われている面積の形をよく見て、三角形や円や長方形も組み合わせて縦割りしかできない積分をうまく使うんだぞ。」

＊参考文献「ライトノベルでわかる微分積分」野口哲典著です。
一次関数からの解説ありで、しかもライトノベルのなので、さくっと読めます。すごくわかりやすい本でした！

おすすめの参考書：
数研出版編集部編　数学入試問題集
「難易度は高いが、難関を目指すならおすすめだ。昨年の入試問題を集めているから過去問だし、それに安い。なんと本体８００円くらい、答え３００円くらいだ。答えもちゃんと買うんだぞ。別売りの時あるから、注意して。答えと解説がなかったら意味ないぞ。
　やる暇なかったらこれを読むだけでも数学力は上がる。少なくとも私は上がった。
それからわからない問題はちゃんと先生に聞くこと。
　文系・理系の数ⅠA・ⅡBと数Ⅲがあるから、よく注意して選ぶんだぞ。」